多年以后，物理学家会眼带向往之情地谈论起洛伦茨那篇讨论这些方程的论文——“那篇美丽的杰作”。有史以来第一次，洛伦茨的图像得以向我们清楚展示，说“这很复杂”究竟意味着什么。混沌的所有丰富意涵都在那里面。
撰文 | James Gleick
翻译 | 楼伟珊
在 20 世纪五六十年代，到处弥漫着对于天气预报的不切实际的乐观主义情绪。报纸和杂志上充斥着对于气象科学的冀望，不只是天气预报，还有人工影响天气和天气控制。有两种技术正在日渐成熟，那就是电子计算机和人造卫星。而一项称为全球大气研究计划的国际合作项目也正在准备充分利用它们。当时的一种思想是，人类社会将从天气的变化无常中解放出来，从其受害者摇身变成其主人。短程线穹顶将罩住玉米地。飞机将直接往云中播散催化剂。科学家将学会如何造雨和止雨。
这种思潮的思想之父是冯·诺伊曼，他在设计自己的第一部计算机时所意图的功能之一就是控制天气。他召集了一帮气象学家，并向一般科学界宣传他的计划。对于自己的乐观主义，他有一个数学上的具体理由。他注意到，一个复杂的动力系统可以具有一些不稳定点——一些临界点，在那里，轻轻一推就会引发重大后果，就像轻推山顶上的球一样。而冯·诺伊曼设想，有了计算机的帮助，科学家就能够计算出流体运动的方程组在接下来几天的行为。然后一个由气象学家构成的中央委员会将派遣飞机去播散烟幕或播云，从而将天气推向想要的方向。但冯·诺伊曼忽视了混沌的可能性，而到时每一点都将是不稳定的。
到了 20 世纪 80 年代，专门有一个庞大的机构不惜耗费巨资去追求冯·诺伊曼的目标，至少是其中的天气预报部分。在马里兰州郊区（靠近华盛顿环路）的一栋外表朴素、屋顶布满雷达和无线电天线的方盒子建筑里，美国的顶尖天气预报员济济一堂。他们的超级计算机所运行的天气模型与洛伦茨的只在最基本的精神上相似。相较于皇家–麦克比 LGP – 30 能够每秒进行六十次乘法运算，一部 CDC Cyber 205 大型机的威力以每秒百万次浮点运算计。而相较于洛伦茨满足于十二个方程，现代的全球天气模型处理的是包含500,000个方程的系统。他们的模型理解随着空气收缩和膨胀，水汽释放和吸收热量的方式。数字化的风会受到数字化的山脉的影响。而每个小时，来自全球各个国家的数据，来自飞机、卫星、船舶的数据会汇集到这里。美国国家气象中心生产出了世界上第二好的天气预报。
最好的天气预报则出自英格兰的雷丁镇，一个距离伦敦一小时车程的大学小镇。欧洲中期天气预报中心坐落在一处树木掩映的建筑当中，这是一栋有着联合国风格的现代砖和玻璃建筑，里面还摆放着各地赠送的礼物。它是欧洲共同市场精神全盛之时的产物，当时大多数西欧国家决定汇集各自的人才和资源，以求做出更精准的天气预报。欧洲人将他们的成功归结为他们轮转的年轻才俊（没有公务员）以及他们的克雷超级计算机（似乎总是比美国人所用的计算机先进一个型号）。
天气预报标志着利用计算机为复杂系统建模的开始，但无疑这不是其结束。同样的技术也帮助了其他许多领域的科学家和社会科学家做出预测，从推进器设计师关心的小规模流体流，到经济学家关心的大规模金融流，不一而足。事实上，到了 20 世纪七八十年代，利用计算机进行经济预测已经变得与全球天气预报非常相像了。各种模型会穿行在由方程组构成的复杂但不无武断的网络中，通过它们将对于初始条件（不论是大气压，还是货币供应）的测量转化为对于未来趋势的一个模拟。研究者希望，结果不会由于许多不可避免的简化假设而太过偏离现实。如果一个模型确实得出了某个明显离谱的结果（比如撒哈拉发洪水，或者利率涨三倍），研究者就会调整方程组，以便使结果重归正轨。在实践中，经济模型屡屡被证明难以对未来做出可靠的预测，但仍有许多人，他们原本应该更清楚这一点，却表现得仿佛他们对这些结果深信不疑。经济增长率或失业率的预测在被提出时，常常暗示人们自己精确到了两位或三位小数。而政府和金融机构往往会为这样一些预测买单，并在它们的基础上采取行动，这或许是出于必要或缺乏其他更好选择。也许他们清楚，像“消费者信心”这样的变量，并不像“湿度”那样能够得到很好的测量，而对于政治和时尚的变化，我们也还没有找到能够完美刻画它们的微分方程组。但很少有人意识到，在计算机上为各种流建模的这个过程本身有多么脆弱，哪怕数据是相当可靠的，而支配它们的定律，就像在天气预报中那样，是纯粹物理的。
计算机建模确实已经成功将天气预报从一门艺术变成了一门科学。欧洲中期天气预报中心的评估表明，靠着这些从统计上看聊胜于无的预测，世界每年得以减少数十亿美元的损失。但超过两三天，即便世界上最好的天气预报也不过是猜测；而超过六七天，它们则变得毫无价值。
蝴蝶效应正是个中缘由。对于小尺度天气现象（在一个全球天气预报员看来，“小尺度”可能意味着雷暴和雪暴），任何预测都会快速恶化而变得没用。误差和不确定性不断积累，在一系列大小不同的湍流现象（从尘卷风和飑，到只能透过人造卫星看到的巨大涡旋）中不断放大。
现代的全球天气模型使用的是从一个格点之间相距一百公里的网格中采样的数据，而即便如此，某些初始数据还是需要靠猜测得到，因为地面站和人造卫星无法每个地方都观测到。但不妨设想整个地球可以布满传感器，它们水平间隔三十厘米，垂直间隔三十厘米，往上直到大气层顶部。再设想每个传感器可以给出有关温度、气压、湿度，以及气象学家想了解的其他任何物理量的完全精确的读数。然后在正午时分，一部无限强大的计算机读取所有这些数据，并计算接下来每分钟（12:01, 12:02, 12:03,…）的天气状况。
到时，计算机将仍然预测不出在一个月后的某天，新泽西州普林斯顿镇是晴天，还是下雨。在正午时分，位于传感器之间的空间会存在不为计算机所知的随机涨落，即对于平均值的微小偏离。到了12:01，这些涨落会在三十厘米之外创造出微小的误差。这些误差很快会在三米的尺度上不断积累，如此这般，直到在整个地球的尺度上导致显著的差异。
即便对于资深气象学家来说，所有这些也有违直觉。洛伦茨的一位老朋友是 MIT 的气象学家罗伯特·怀特，后者后来成为美国国家海洋和大气管理局的首任局长。洛伦茨向他说明了蝴蝶效应，以及他觉得这对长期预测来说可能意味着什么。怀特给出了冯·诺伊曼的回答。“预测，无关紧要，”他说道，“这是天气控制。”他的想法是，在人力所及范围内的小的人工影响将能够引致我们想要的大尺度上的天气变化。
洛伦茨则认为不然。确实，你能够改变天气。你能够使之变成不同于原本的另一副模样。但如果你这样做了，你就永远无法知道它原本会是什么模样。这就像是把一副已经洗匀的扑克牌再洗一次。你知道这会让你改变运气，但你不知道运气会是变好，还是变坏。
洛伦茨的发现是一个意外，是自阿基米德及其浴缸以来的无数意外发现中的一个。洛伦茨向来不是那种大呼“尤里卡”的类型。这个意外发现只是将他引到了一个他从未曾离开的地方。他准备通过找出它对于科学理解各种流体流的方式究竟意味着什么，深入探索这个发现的意涵。
要是他当初止步于蝴蝶效应，一个说明可预测性让步于完全随机性的意象，那么洛伦茨原本可能揭示的不过只是一个非常坏的消息。但洛伦茨在他的天气模型中看到的不只是随机性。他看到了一个精细几何结构，一种乔装成随机性的秩序。毕竟他是一位乔装成气象学家的数学家，而这时，他开始过上一种双面生活。他会写作纯粹气象学的论文。但他也会写作纯粹数学的论文，只是还以有点儿略微误导人的天气话题作为开场白。最终，这样的开场白也会彻底消失不见。
他将注意力越来越多地转向这样一些系统的数学，这些系统始终无法找到一个定态，几乎要重复自己，但始终没有完全做到。每个人都知道，天气就是这样一个系统——非周期的。其他类似例子在大自然中所在皆是：几乎规则起伏的动物种群数量，以接近定期的时间表爆发和消退的流行病，如此等等。要是天气确实有朝一日来到了一个与它之前经历过的某个状态确切一样的状态，每股风和每片云都一模一样，那么有可能它会接下来永远重复自己，这时天气预报的问题就会变得平凡无奇。
洛伦茨意识到，在天气不愿意重复自己与天气预报员无法预测它之间必定存在一种关联——一种在非周期性与不可预测性之间的关联。找到会生成他所寻觅的非周期性的简单方程组并不是件易事。一开始，他的计算机模型倾向于陷入始终重复的循环。但洛伦茨尝试了各式各样的略微复杂化，并最终在加入一个东西方向上的温差（对应于在现实世界中，比如北美东海岸与大西洋在受热升温上的差异）随时间变化的方程后取得了成功。重复消失不见了。
蝴蝶效应其实并不是一个意外，而是一种必需。洛伦茨推理，设想小的扰动不是在系统中积累扩大，而是维持这么小的状态，那么当天气变得任意接近一个它之前经历过的状态时，它就会维持这个样子，接下来继续任意接近该状态。实际上，这样的循环会是可预测的——因而最终也是无趣的。为了生成地球上丰富多彩、变化万端的现实天气，你大概想象不出比蝴蝶效应更好的东西了。
蝴蝶效应也被冠以另一个技术性名称：对初始条件的敏感依赖。而对初始条件的敏感依赖其实并不是一个全新概念。它在民间故事中就有体现：
少了一钉子，失了一铁蹄；少了一铁蹄，失了一战马；少了一战马，失了一骑士；少了一骑士，失了一胜仗；少了一胜仗，失了一王国。
像在生活中一样，在科学中，众所周知，一连串事件中可以有一个激变点，将小的变化放大。但混沌意味着，这样的点到处都是。它们无处不在。在像天气这样的系统中，对初始条件的敏感依赖是小尺度与大尺度交织在一起的方式的一个不可避免的结果。
他的同事惊喜于洛伦茨同时把握到了非周期性和对初始条件的敏感依赖，而他所用的只是一个天气的玩具模型：十二个方程，然后凭借机械的高效率一遍遍加以计算。那么这样的丰富性、这样的不可预测性（这样的混沌），如何能够从一个简单的决定论式系统中冒出来？
洛伦茨暂时放下天气，试图找到比它还要更简单的方式去生成这种复杂的行为。最终他在一个只由三个方程构成的系统中找到了这样的方式。这些方程是非线性的，也就是说，它们所表示的关系不是严格成比例的。线性关系可被表示为图上的一条直线。它理解起来也很容易：多多益善。线性方程组是可解的，而这使得它们适合进入教科书。线性系统还具有一个重要的构件化优点：你可以把它们拆开，然后再把它们组装到一起——其各部分是可加的。
非线性系统则一般是不可解和不可加的。在流体系统和力学系统中，非线性的项往往是人们在试图得到一个简单明了的理解时希望加以忽略的一些特征。比如，摩擦力。在没有摩擦力的情况下，加速一枚冰球所需的能量可用一个简单的线性方程表示出来。而在有摩擦力的情况下，关系变得更为复杂，因为所需的能量取决于冰球已有的运动速度。非线性意味着，参与游戏的行为本身会改变游戏规则。你无法赋予摩擦力一个恒定的重要性，因为其重要性取决于速度。而速度，反过来，又取决于摩擦力。这种相互依赖使得非线性难以计算，但它也创造出了丰富多彩的、不见于线性系统的各类行为。在流体动力学中，一切都可以归结到一个经典方程——纳维–斯托克斯方程。这是一个简洁性的奇迹，将流体的速度、压强、密度和黏度联系到了一起，但它碰巧是非线性的。所以这些关系的性质常常变得不可能明确确定。分析一个像纳维–斯托克斯方程这样的非线性方程的行为，就仿佛是穿行在一个迷宫当中，并且其墙壁会随着你的每一步而发生重新排列。就像冯·诺伊曼自己所说的：“方程的特性……在所有相关层面上都同时发生改变：次数和度都发生改变。因此，棘手的数学难题必定随之而来。”要是纳维–斯托克斯方程里不包含非线性的魔鬼，那么世界会变得大不相同，科学也会不需要混沌。
洛伦茨的三个方程受到了一类特定的流体运动的启发：热的气体或液体的上升，即对流。在大气中，靠近地面的空气受热膨胀上升；在热的沥青和散热器表面，热气升腾，氤氲似鬼魅。洛伦茨也乐于谈论一杯热咖啡中的对流。按照他的说法，这只是我们可能希望预测其未来的不可计数的流体动力过程中的一种。我们如何能够计算出一杯咖啡会冷却得多快？如果咖啡只是温的，那么不需要任何流体动力运动，其热量也会慢慢耗散。这时咖啡维持在一个定态。但如果它足够热，对流过程就会将热咖啡从杯底带到温度较低的杯面。只需在杯中加入些许稀奶油，咖啡中的对流便会变得清晰可见。由此产生的白色涡旋可以非常复杂。但这样一个系统的长期命运是显而易见的。由于热量不断耗散，也由于摩擦力减缓了流体的速度，整个运动必定最终不可避免会停止。洛伦茨便对着一帮科学家一本正经地开玩笑道：“我们可能难以预报咖啡在一分钟后的温度，但我们应该不难预报它在一小时后的温度。”刻画一杯慢慢冷却的咖啡的运动方程组必须要能够反映系统的这种命运。它们必定要是耗散的。咖啡的温度必定要逐渐趋于室温，而速度必定要趋于零。
洛伦茨选取了一组描述对流的方程，并极力简化，舍弃一切有可能出错的东西，使之简单到脱离现实。原始模型几乎一点儿影子都没有剩下，但他的确将非线性保留了下来。在物理学家的眼中，这些方程看上去甚是简单。你会扫上一眼（后来的许多科学家确实就是如此），然后说：“我能够求解它。”
“确实，”洛伦茨平静地说道，“当你看到它们时，你会倾向于这样想。它们当中存在一些非线性的项，但你认为必定存在某种方式可以绕过它们。但你就是无法做到。”
最简单的教科书式对流出现在一个充满流体的盒子中，盒子的一个平滑底面可被加热，而另一个平滑顶面可被冷却。热的底部与冷的顶部之间的温差控制着流体流的运动。如果温差很小，那么整个系统保持静止。这时热量通过热传导从底部流向顶部，就仿佛流经一块金属，不足以克服流体宏观上维持不动的自然倾向。此外，整个系统是稳定的。任何随机运动（比如一个研究生敲击实验设备所引发的）会慢慢消失，使系统回归其定态。
©Adolph E. Brotman
翻滚的流体：当一种液体或气体在底部受热时，该流体倾向于自组织形成一个个圆柱状的涡卷（左图）。热流体在一边上升，逐渐失去热量，然后在另一边下沉——这就是对流过程。进一步加热后（右图），一种不稳定性开始出现，涡卷开始沿着圆柱体的长轴前后摆动。在更高的温度上，流体流变得恣意和紊乱。
但增大加热强度，新的一类行为就会出现。随着底部的流体受热，它体积膨胀。随着它体积膨胀，它密度变小。而随着它密度变小，它相对变轻，足以克服摩擦力，从而上升至顶部。在一个小心设计过的盒子中，圆柱状的涡卷会出现，其中一边是热流体受热上升，另一边则是冷流体下沉补充。从侧面看，整个运动构成了一个连续的圆。而在实验室之外，大自然也经常创造出它自己的对流涡胞。比如，当太阳加热沙漠的地表时，翻滚的气流会在上面的积云或下面的沙堆中创造出神秘莫测的模式。
进一步增大加热强度，流体的行为会变得更为复杂。涡卷会开始扭曲、摆动。洛伦茨的方程组太过简化，完全不足以为这类复杂性建模。它们所抽象的只是现实世界对流的一个特征：热流体上升而冷流体下沉、翻滚仿似摩天轮的圆周运动。这些方程考虑了这种运动的速度以及热量的传递，而这些物理过程是相互作用的。随着热流体沿着圆上升，它会与其他较冷的部分相接触，从而开始失去热量。如果运动的速度足够快，那么底部流体在抵达顶部并开始顺着涡卷的另一边下沉时不会失去所有的额外热量，所以它实际上会开始阻碍处在身后的其他热流体的运动。
尽管洛伦茨的系统没有为对流完全建模，但事实证明，它还是能在现实系统中找到一些确切的对应物。比如，他的方程组就精确描述了一种老式发电机。作为现代发电机的祖先，圆盘发电机通过圆盘在磁场中转动而生成电流。在特定条件下，一种双圆盘发电机能够反转线路中的电流。在洛伦茨的方程组变得为更多人所知后，有些科学家就提出，这样一种发电机的行为或许可以解释另一种怪异的反转现象：地磁场。人们已经知道，在地球的历史上，这种“地磁发电机”已经反转过很多次，并且这些反转之间的间隔看上去毫无规则、难以解释。面对这样的不规则性，理论研究者通常试图在系统之外寻找解释，提出诸如陨石撞击之类的理由。但或许地磁发电机自有其混沌。
另一个可被洛伦茨的方程组精确描述的系统是某种水车，这是对流的圆周运动的一个力学类比。在顶部，水匀速流入挂在水车边缘的水斗中。每个水斗则透过底下的一个小孔匀速将水漏出。如果水流缓慢，那么最高处的水斗将永远无法积累足够多的水，不足以克服摩擦力；但如果水流变快，最高处的水斗的重量将带动水车开始转动。转动可能持续朝同一个方向。或者如果水流如此之快，以至于重的水斗越过最低点来到另一边，于是整个水车可能变慢、停止，然后反向转动，一下朝一个方向，一下朝另一个方向。
面对这样一个简单的力学系统，物理学家的直觉（其前混沌的直觉）会告诉他，长期来看，如果水流保持匀速，一个定态就将会演化出来。要么水车匀速转动，要么它稳定地来回振荡，以恒定的间隔一下朝一个方向，一下朝另一个方向。但洛伦茨发现情况并非如此。
©Adolph E. Brotman
洛伦茨的水车：由爱德华·洛伦茨发现的第一个著名的混沌系统确切对应于一个力学装置：一部水车。这个简单的装置被证明能够生成出人意料复杂的行为。
水车的转动具有一些与对流过程中流体形成的翻滚圆柱体相似的属性。水车就像圆柱体的一个横截面。两个系统都被匀速驱动（被水或热量），并且两者都耗散能量（流体失热，而水斗漏水）。在两个系统中，长期行为都取决于驱动能量的强弱。水从顶部匀速流入。如果水流缓慢，最高处的水斗永远无法积累足够多的水，不足以克服摩擦力，整个水车就不会开始转动。（类似地，在流体中，如果热量不够多，不足以克服黏性，流体也不会开始运动。）如果水流变快，最高处的水斗的重量将带动水车开始转动（左图）。整个水车会进入一个朝同一个方向的匀速转动（中间图）。但如果水流变得更快（右图），由于系统内禀的非线性效应，转动会变得混沌。随着水斗经过水流下方，它们能够承接的水量取决于转动的速度。一方面，如果水车转得很快，水斗就没有多少时间接水。（类似地，处在快速翻滚的对流中的流体也没有多少时间吸收热量。）另一方面，如果水车转得很快，水斗会在水漏光之前来到另一边。因此，在另一边向上运动的重的水斗会导致转动变慢，乃至反转。事实上，洛伦茨发现，长期来看，转动会多次反转，并且从不会出现一个稳定的频率，也从不会以任何可预测的模式重复自己。
三个方程（连同其三个变量）完全描述了这个系统的运动。洛伦茨的计算机输出了这三个变量不断变化的值：0–10–0, 4–12–0, 9–20–0, 16–36–2, 30–66–7, 54–115–24, 93–192–74。随着系统中时间的推移，五个时间单位，一百个，一千个，这些数起起伏伏。
为了利用数据得到一个直观图像，洛伦茨以每组的三个数为坐标，确定三维空间中的一个点。由此，数的序列生成了一个点的序列，一条记录下这个系统行为的连续的轨线。这样一条轨线可能来到一个地方，然后终止，意味着系统最终进入一个定态，届时有关速度和温度的变量将不再变化。或者轨线可能构成一个环，循环往复，意味着系统最终进入一个周期性重复自己的行为模式。
洛伦茨的系统不属于这两种情况。相反，它的图像展现出一种无穷的复杂性。它始终停留在特定边界之内，不越雷池一步，但也始终没有重复自己。它生成了一个怪异而独特的形状——某种三维空间中的双螺线，就好似伸展双翅的一只蝴蝶。这个形状透露出纯粹的无序，因为其中没有哪个点或点的模式是重复的。但它也透露出一种新的类型的秩序。
多年以后，物理学家会眼带向往之情地谈论起洛伦茨那篇讨论这些方程的论文——“那篇美丽的杰作”。到那时，它被人说得就仿佛是一份古代卷轴，内含有关永恒的天机。在成千上万的讨论混沌的技术性文献中，几乎没有哪篇论文比《决定论式的非周期性流》一文更常被人引用。在很多年里，也没有哪一个对象会比该论文中所刻画的那条神秘曲线，即后来被称为洛伦茨吸引子的双螺线，启发、催生出更多插图，乃至动画。有史以来第一次，洛伦茨的图像得以向我们清楚展示，说“这很复杂”究竟意味着什么。混沌的所有丰富意涵都在那里面。
©James P. Crutchfield / Adolph E. Brotman洛伦茨吸引子：这个类似猫头鹰面具或蝴蝶双翅的神奇图像，成了混沌的早期探索者的一个象征。它揭示出了隐藏在一股无序的数据流背后的精细结构。传统上，一个变量的不断变化的值可表示为一个所谓的时间序列（左上图）。但要想展示三个变量之间不断变化的关系，这需要用到一种不同的技术。在任意一个给定时刻，三个变量的值确定了三维空间中一个点的位置；而随着系统变化，这个点的运动就代表了这些不断变化的变量。由于系统永远不会确切重复自己，因此其轨迹永远不会自相交。相反，它始终在绕来绕去。吸引子的运动是抽象的，但它还是传递出了现实系统运动的某些特征。比如，从吸引子的一翼跃至另一翼就对应于水车或对流流体的运动方向的反转。
不过，在当时，几乎没有人能看出这一点。洛伦茨曾向威廉·马尔库斯（一位MIT的应用数学教授，也是一位彬彬有礼的科学家，对于同仁的工作有着非凡的赏识能力）描述了自己的发现。马尔库斯听完笑了起来：“埃德，我们知道（我们清楚地知道），流体的对流根本不会出现那种情况。”马尔库斯告诉他，复杂性无疑会慢慢削弱，系统最终将趋于稳定而规则的运动。
“当然，我们当时完全没有把握到重点，”马尔库斯在二十多年后（即在他曾在自己的地下室实验室里实际搭起一部洛伦茨水车，以便向非信仰者“传道”的多年之后）说道，“埃德当时所思考的根本不是我们的物理学。他所思考的是某种一般化的或抽象的模型，而其展现出来的行为，他出于本能感到，是外部世界的某些层面的典型行为，不过他无法跟我们这样说。只是在事后，我们才意识到他当初必定是这样一些观点。”
当时很少有外行人意识到，科学界已经变得多么相互隔绝；它就犹如一艘战舰，其中一道道水密舱壁使各舱室相互隔绝，密不透水。生物学家不需要再关注数学文献，也已经有足够多的东西需要阅读——事实上，分子生物学家不需要再关注种群生物学，也已经有足够多的东西需要阅读。物理学家也有比浏览气象学期刊更好的方式去花费自己宝贵的时间。原本有些数学家会兴奋于看到洛伦茨的发现；而在接下来的十年里，也有许多物理学家、天文学家和生物学家一直在寻找像这样的东西，并且有时他们还自己重新发现了它。但洛伦茨是一位气象学家，而当时没有人想到要去《大气科学期刊》第20卷的第103页找寻混沌。
本文经授权节选自《混沌》（人民邮电出版社2021版），标题为编辑所加。扫描或长按识别下图二维码购书 ↓↓↓