起源
最近，东森陷入了一片混乱。不仅是朋友圈和微博，我的朋友们也“去了岛上”。
作为一名忠实的东道主，我第一次得到了一个，并开始了建造无人岛的旅程。所以，每天带着开关去工作，在录像和视频剪辑之间玩，已经成为我这些天的日常生活。
现在在玩动森的小伙伴一定知道动森里有一种树叫做摇钱树，你只要摇一摇他就会掉下钱来。但是每棵摇钱树只能摇一次。摇钱树怎么种呢？相信这已经不是什么秘密了。每天早上5点之后会在你的岛上刷新一个冒着金光的地块，用铲子挖的话会得到一袋铃钱+一个金光闪闪的黄金大坑。说实话第一次见到这个东西的时候我还以为这就是个坑，于是第一次挖出来钱以后开心到不行然后就把它埋上了。结果后来和大佬联机的时候才知道把身上的钱袋埋在那个金光闪闪的大坑里，过几天就会长成一棵新的摇钱树。
种瓜得瓜，种豆得豆。在动森的世界里却可以种钱得钱。一棵摇钱树上会长三个钱袋，很多小伙伴一开始都会以为摇钱树结的钱就是种的时候埋下去的三倍吧，于是觉得埋99000岂不是也可以翻3倍直接变成29万7？那还房贷什么的岂不是轻飘飘，没错天真如我，连续中了好几天9w9。但是等钱长出来才发现，这玩意有的时候真的是欧皇附体，长出来的摇钱树才可以摇下来三个99000，而大部分时候只能摇下来三个10000的钱袋，顿时血本无归的感觉有没有。
其实摇钱树结的钱并不一定是埋下去的三倍，具体结出来的钱是多少是有概率的。我也是前些天逛NGA无意中发现一个大佬@Ninji扒出来的动森摇钱树结钱的机制。
摇钱树结钱的机制
动森摇钱树结钱的机制是这样的
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当你埋下的钱在100-1000之间的时候，摇钱树结出来的钱袋一定是三个1000的。
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当你埋的钱在2000-9000之间的时候，摇钱树有70%的概率结出来3个1000的钱袋，有30%的概率结出来3个和你埋得钱一样大小的钱袋，也就是你埋下的钱的三倍。
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当你埋下的钱在10000-99000之间的时候，摇钱树有70%的概率结出来3个10000的钱袋，而只有30%的概率结出来3个和你埋得钱一样大小的钱袋，同样也就是你埋下钱的三倍。
所以摇钱树确实最多能一次性摇下来297000铃钱，但是只是有概率，并不是一定的。那么要不要冒着损失的的风险去赌这个297000铃钱呢？事情就变得复杂了起来。
使用条件概率求解最优投资方案
其实这个问题可以用我们学过的条件概率和投资理论的知识来求出最优解。
这里在补充一下我自己测试的动森里能埋钱的数量大小的机制。只有钱币或者钱袋是可以埋在坑里的，而钱币是不可以摞在钱袋上的。一个钱币是100铃钱，最多叠加9个，如果你要叠加第10个钱币上去，他就会自动变成一个钱袋。一个钱袋是1000铃钱，最多可以叠加99个。我们埋得时候可以选择一次性把一组钱币或者钱袋都买埋进去。所以实际上动森里的这个摇钱树，我们埋得时候可以选择的埋钱数量是离散的。在1000以下的时候，我们只能埋100的整数倍的钱，也就是100，200，300，400…900。在1000以上的时候我们只能埋1000的整数倍的钱，就像1000，2000，3000…990000. 最多一次只能埋990000铃钱进去，因为一组钱袋最多叠加99个。
那么我们假设我们埋得钱是x，使用条件概率的思想就可以计算出每一种情况下能够摇下来的钱的期望值。
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当我们埋得钱在100-1000时，我们获得的收益必定是3*1000也就是3000
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当我们埋得钱在2000-9000时，我们获得的收益就是 百分之70的概率乘以三个1000的钱袋，也就是70%*3*1000加上 百分之30的概率乘以三个x的钱袋，也就是30%3x。那么把这两种情况乘以他们出现的概率得到的值也就是当我们埋得钱在2000-9000之间的时候我们的期望收益，算出来也就是2100+0.9x
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用同样的方法我们计算埋得钱在10000-99000之间的时候我们的期望收益是多少，我们获得的期望收益就应该是 百分之70的概率乘以3个10000的钱袋，也就是70%310000 然后再加上 百分之30的概率 乘以 三个 x的钱袋， 也就是30%3x。那我们算一下整理出来就是21000+0.9x
那把我们前面整理出来的三种情况下的期望收益都写在一起，就得到了种植摇钱树的收益的期望函数。
这里一定要注意一下它的定义域，x的取值是离散的，而不是连续的。因为种摇钱树一定意义上也是一种投资嘛，我们要当然也要考虑我们的成本。所以用这个函数再减去一个成本x，profit=gain-cost就得到了不同的情况下，我们的利润的期望函数。
得到了种摇钱树利润的期望函数，下一步我们只要找到这个函数的最大值的点，就可以确定我们的最优投资方案了。毕竟我们现在不是在考试嘛，所以就没有必要去手算这玩意的最值了。我们直接用excel画出来这个函数的图像，就可以直观的看到这个这玩意的最大值了。
当然这里你也可以用matlab啊之类的更专业的软件，但是excel他便宜又简单啊，所以这里我就直接用excel了。
所以呢，有了这个图像，我们一眼就可以看出来，当我们埋得钱是10000元的时候，我们的期望收益是最高的。
这里在多插几句，再简单聊聊期望收益是什么意思，期望收益，其实也就是平均收益，他指的呢是在多次重复的情况下，你能获得的收益的平均值，也就是在正常情况下，你每天埋一袋钱袋然后一直埋下去，那么每次种1w，你平均能获得的收益是最高的。但如果你是欧皇级别的，人品总能暴击，那每次埋990000，也许真能直接来几波一发入魂，早早还完房贷开始享受人生
从投资回报率的角度在看这个问题
好现在我们其实已经找到了动森里种摇钱树的最优投资方案了。接下来我们站在投资的角度，从投资回报率的角度再来看一下这个问题。我们来计算一下不同情况下，种摇钱树的期望的投资回报率是多少，ROI就应该等于 profit / cost
所以我们return的期望函数就是
同样的方法，我们也可以用excel直接画出这玩意的图像，来直观的看一下他的ROI的随着我们埋得钱增多的变化情况。
可以发现一个很有趣的事情，实际上如果从投资回报率的角度来说的话，我们每次都埋100铃钱，我们的投资回报率是最高的，因为每次付出100铃钱，我可以获得3000铃钱的回报。投资回报率高达2900%。但是凭直觉我们也不太会去选择每次只种100铃钱去获取这个2900%的利润吧。但是这是为什么呢，接下来我尝试着从三个角度去解释一下这个问题。其实这三个角度的主要原因都是我们游戏里一天只会刷一个能种摇钱树的坑，投资机会是有限的。
尺度问题
第一个角度就是尺度的问题，利润率，也就是投资回报率高，并不代表着我的利润就高。
我埋100铃钱，虽然有2900%的利润，但是我一次只能获利2900铃钱。
但是埋10000元，虽然我只有200%的利润，但是我却能获得20000元的利润。
这两万的利润怎么也比2900多吧。而且我一天只能种一次，只要我钱够，我肯定选利润多的那个啊。
单利模型
第二个角度其实就是我们最近学习的货币的时间价值中的单利模型。不管我们是每天种100还是每天种1w，每天我们都可以摇一次树以及种一棵树，比如如果每次我都是种1w，然后稳定长出来3w，那相当于我只需要自掏腰包拿出来最开始的1w块钱，这个就是我的本金，之后虽然每次都还要种1w下去，但是种下去的这个钱我可以用每天长出来的3w里面的1w种下去，所以相当于每天的利息是2w，也就是我最开始投资的时候，花了1w，但是每天都能获得2w的利息。种100块的话也是同理，投资了100块钱，然后每天给我2900的利息。那么这个其实就是我们公司理财里学习的单利模型，因为本金固定，利息我们会拿走作为额外的收益。那么因为单利的本息和就是 本金乘以（1+利润率乘以天数嘛），那么假设投资期是a天，选择每次埋100元的话，a天之后我手上的钱就是 100（1+2900%a）整理一下就是100+2900a，选择每次埋10000元的话，a天之后我手上的钱就是10000（1+200%a）整理一下就是10000+20000a。因为这里a的定义域只能是自然数，所以这里可以很明显的看出来埋10000铃钱的话，不管持续多少天，最后的总得收益都是要大于埋100铃钱的
机会成本+NPV法
第三个角度其实就是经济学上的机会成本的角度。我做出一个选择的成本其实是我为了做出这个选择所放弃的所有机会里最贵的。如果我选择每次埋100铃钱，我可以获得2900%的收益率，每次的收益是3000。如果我们选择每次埋10000铃钱的话，我的收益率是200%，将获得30000元。那么从机会成本的角度考虑，如果最终选择埋100铃钱的话，我放弃的机会是埋10000铃钱获得的收益的机会。这里我们可以用NPV法来计算一下选择埋100铃钱的净收益是多少。这个思路我们在ACF108的课程评估投资机会那一章中已经介绍过了。选择埋100铃钱的话，我们的收益的现值应该是把未来的3000铃钱贴现到现在，也就是3000/(1+2900%)=100，但是做出这个选择的话我们付出的机会成本的现值， 也就是把我们做那个选择在未来会获得的30000铃钱的收益贴现到现在，也就是30000/(1+200%)=10000。 那么我们选择埋100铃钱的NPV就等于100-10000=-9900 这个值是负的，小于零，所以根据NPV法的规则，我们也不应该选择埋100铃钱。
好，那么以上就是这一期学术自习室番外篇的所有内容。这一期，我们使用了条件概率，excel的操作，投资理论，货币的时间价值，机会成本以及NPV法的知识，从理论的角度比较严谨的分析了动物森友会里种摇钱树的最优投资方案。如果你对大学阶段所学的知识在现实中的趣味应用感兴趣的话，你可以随时登陆我们的网站，www.om-class.com订阅我们的免费课程，《学术自习室》关注再一课学术自习室番外篇。再一课学术自习室番外篇，不定期更新学术知识的趣味应用。感谢你的阅读。