某次机缘巧合，刚打完原神的我跟原神好友“机智的额头怪”对原神里面的抽卡机制展开讨论，并一起尝试建模分析。发觉到里面有不少有趣且值得研究的内容后，我对抽卡机制进一步深化研究，经过一年多的打磨和与导师的讨论后，最终将这篇以原神抽卡为出发点的paper投往了ACM SIGMETRICS 2023并最终成功accept。作为一名原神玩家，在此也分享一下本文的工作，也再次感谢“机智的额头怪”，和你的讨论为我们分析抽卡机制提供了灵感。
抽卡游戏（Gacha Game）被广泛应用在很多免费（free-to-play，F2P）游戏中。在抽卡游戏中，玩家不能直接购买物品，而只能购买抽奖券，利用抽奖券进行抽奖才有概率赢得想要的物品。不同于简单的彩券（lottery），在抽卡游戏（Gacha Game）中，每一次抽奖的概率是可以变化的。抽卡游戏中存在很多有意思的问题，比如，从玩家角度上，如何制定自己最佳的抽卡策略？而从游戏厂商角度上，如何设置抽卡游戏的概率，采用哪些抽卡机制可以提高收益？本文将结合理论分析和实际例子，展开对抽卡游戏设计与分析的讨论。
抽卡机制建模
在对抽卡机制进行建模的时候，我们考虑了如下商品销售模型：存在一个抽卡游戏的玩家（买家）和卖家（游戏厂商），其中玩家对抽卡游戏中的奖励物品认可价值为 R (这是一个个人属性，每个人认可的价值可以不同), 其中 R 服从分布 F . 玩家只能通过向卖家购买抽奖券，进行抽奖，才有可能获得奖励的物品。其中抽奖券的价格为 c , 第 i 次抽奖的中奖概率为 pi. 卖家将先设定好抽奖券价格 c 和中奖概率 p=(p1,p2,⋯) ，而玩家将根据游戏参数决定是否向卖家购买抽奖券进行抽奖。
从玩家角度，在抽卡游戏中，每一抽对应的概率都可能有所不同。在数学模型上，我们可以把玩家抽卡的整个过程建模成一个马尔可夫决策过程（Markov Decision Process, MDP）。记玩家处于第 i 抽所在的状态为 Si , 在每个状态下玩家的选择(action)只有两种，抽或者不抽。第 i 抽能抽中的概率为 pi，一旦抽中事件发生，玩家则会转移到终止状态win状态 S∗，并获得对应奖励 R, 反之如果没有抽中，玩家就会转移到下一个状态 Si+1中，并且啥也没有。在这样一个抽卡游戏中，每一个精明的玩家都将寻找出自己的最优策略 π∗以最大化自己的收益，而最优策略 π∗可以通过求解MDP得到。
从卖家角度，卖家希望最大化自己的期望收益。卖家的收益来自于出卖抽奖券给玩家，故卖家收益可以表示为 c⋅E(π∗)， 其中 E(π∗) 表示玩家抽取的期望数。
最优（最赚钱）抽卡机制设计
各大抽卡游戏厂商，当然希望让玩家多多氪金，多多抽卡，以此来赚得盆满钵满的。那么问题来了，游戏厂商又该如何去设计抽卡游戏的参数（抽奖券价格 c，中奖概率 pi）呢？
以原神为例，许多抽卡游戏厂商采用了保底机制(pity system)，也即 N抽必定至少中奖一次。保底机制又可以分为硬保底（hard pity）和软保底（soft pity）(非官方分类)，硬保底一般指的是在触及保底数 N 前的概率都为某一恒定较小值，保底第 N抽的中奖概率为 pN=1，而软保底则会在抽卡的过程中逐渐提高中奖概率。已有大佬解析出原神的抽卡概率如下，原神采用软保底的方式，使得绝大多数玩家能在90抽保底前出一个五星。
保底只是一种特殊的抽卡概率设计，那么对于游戏厂商来说，该如何去设计抽卡机制来赚更多的钱呢？
我们可以发现，游戏厂商的收益取决于玩家抽卡的策略 π∗。对建模的MDP进行分析后，发现存在一类特殊的抽卡游戏，在这类抽卡游戏中，所有玩家的最优抽卡决策要么是 π0，即完全不抽一次，要么是 π∞，一直抽下去直到抽中为止。在这类抽卡游戏中，玩家分割成两个派别，要么是完完全全的白嫖党（完全不抽一次），要么是家财万贯的氪金大佬（一直抽下去直到抽中为止）。这种氪金大佬又称之为whale，因此在文中，我们也将这种特殊的抽卡游戏属性称之为氪佬属性或巨鲸属性（whale property）。从MDP模型上，我们可以给出如下定义
进一步分析可以发现只要抽卡游戏中的中奖概率递增(pi≤pi+1,∀i)，那么这个抽卡游戏就有氪佬属性（whale property）。而现有许多游戏都具有氪佬属性的，原神的保底机制也不例外。
对于一些不具备氪佬属性的抽卡游戏，抽卡的中奖概率就不一定是递增的了，比如可能是前面几次概率高，后面中奖概率下降等，如下图。此时玩家的最优决策就不再是简单的 π0 或 π∞了，而可能是抽几发后离开 πk,k∈[0,1,⋯,∞] ，其中 πk 表示玩家的策略为最多抽 k 次直到抽中。
这种前几抽中奖概率高的设计在不少游戏中体现为新手福利/新手运气，前面几抽中奖概率高可以使得更多幸运玩家一发出金，同时也吸引着一些低氪玩家氪金（虽然氪不了很多钱，但是前几抽很容易出货哦？不来试试吗？）。
在研究非氪佬属性的抽卡游戏时，这里有一个小技巧，我们证明了任何一个抽卡游戏，都可以拆分成几个具有氪佬属性的抽卡子游戏(whale property subgame)，从而将非氪佬属性的抽卡游戏转换成相对简单的氪佬属性抽卡游戏进行分析
对比有氪佬属性的抽卡游戏，和没有氪佬属性的抽卡游戏，我们可以发现：
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在有氪佬属性的抽卡游戏中，游戏厂商只能赚到氪佬的钱；而在非氪佬属性的游戏中，会有不同层次的玩家抽卡，轻氪（ R 较小）玩家可能抽几发就离开，中氪（ R 较大）玩家可能多抽几发才离开，但氪佬（ R 很大）会一直抽下去
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直观上非氪佬属性的游戏可以吸引不同层次的人抽卡，从而可能提高游戏厂商的收益
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但非氪佬属性的游戏在前几抽中奖概率相对较大，此时氪佬玩家可能也在前几抽抽中后也就离开了，因此对于游戏厂商来说可能就少赚了氪佬的钱
在文章中，通过分析我们可以得到以下结论：
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对于游戏厂商（卖家）收益而言，有氪佬属性的抽卡游戏严格优于非氪佬属性的抽卡游戏。 这也意味着，游戏厂商如果想最大化自己的收益，他应该选择设计为有氪佬属性，这也和大多数现有的抽卡游戏设计相吻合。有氪佬属性的抽卡游戏只赚氪佬的钱，而非氪佬属性的抽卡游戏多赚了轻氪玩家的钱，但却少赚了氪佬的钱。而有氪佬属性的抽卡游戏收益严格优于非氪佬属性的抽卡游戏，也进一步反映了游戏厂商（卖家）的收益主要来源于氪佬（ R 很高的一群人），这与现实抽卡游戏中的二八定律相吻合（20%的玩家提供了厂商80%的收益）。
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我们还进一步设计了可以实现游戏厂商（卖家）收益最大化的氪佬属性的抽卡游戏机制，而最高收益与单人单物品Myerson拍卖的最高收益相同。
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我们还进一步显示地展示了任何抽卡游戏与单人单物品Myerson拍卖(single-item single-bidder Myerson auction)的等价性，而氪佬属性的抽卡游戏正好对应着Myerson拍卖的Take-it-or-Leave-it策略。（没想到啊，打个游戏，其内在还会跟有名的Myerson拍卖理论有联系）
抽卡机制和Myerson拍卖
这里简单介绍以下抽卡游戏和Myerson拍卖的联系，通过这个联系，我们能将auction的一些理论结果迁移到抽卡游戏中，从而能得到一些有意思的发现。（对这部分不感兴趣的话可以跳过看下一小节）
一个经典的拍卖模型可以认为由以下几部分构成：
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分配规则（allocation rule）： x(b) ，表示当竞拍者bidder，出价为 b 的时候，他将以 x(b) 的概率获得拍卖的物品
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支付规则（payment rule）： y(b) ，表示当竞拍者bidder，出价为 b 的时候，他将需要真正支付 y(b) 的代价
假设竞拍者对这个拍卖物品的心理估价为 R ，当竞拍者bidder出价为 b 的时候，他的期望效用(utility)是 u(b)=x(b)⋅R−y(b)。那么怎么保证竞拍者会诚实出价呢？（我们希望 R=b ）, 这就对应着DSIC属性（dominant-strategy incentive-compatibility）, 此时我们可以通过经典的Myerson引理来设计一个DSIC的拍卖
而对于抽卡游戏来说，不同的玩家对抽卡物品有着不同的心理估价 R ,因此也可能采用不同的抽卡策略 , 而不同的抽卡策略会让玩家以不同的概率赢得这个抽卡游戏，同时也会让玩家支付不同的代价。当我们将抽卡游戏的中奖概率 等价成拍卖中的allocation rule，通过Myerson引理可以计算出对应的payment rule，通过对比分析可以证明其等价性。抽卡游戏和Myerson拍卖的等价关系如下
基于此等价性，我们可以通过最优的Myerson拍卖得出最优的抽卡游戏设计。同时single-item single-bidder Myerson auction中的take-it-or-leave-it策略的最优性也对应了抽卡游戏中whale property（氪佬属性/巨鲸属性）的最优性。
多物品的抽卡机制设计
以上我们主要关注的是单个物品的抽卡机制设计，在文中，我们还拓展讨论了两种多物品的抽卡机制设计，其中一种多物品抽卡机制建模分析的是抽卡游戏中玩家对同一个卡池反复抽取的现象（以原神为例，就是玩家在同一个卡池中反复抽取，以捞角色的命座或更多武器，从而进一步提高角色的强度）；另外一种多物品抽卡机制则刻画了抽卡游戏中up池的情况（以原神为例，就是每隔一段时间卡池中的奖励（人物或武器）就会更新迭代）。在这两种多物品的抽卡机制中，我们主要关注玩家抽卡状态继承和重置问题，进一步深入探讨抽卡中的玄学。
抽卡状态继承和重置
正如上文提及，现有很多抽卡游戏都采用了保底机制。由于保底机制的存在，玩家抽卡中奖概率也会随着抽卡次数的增加而递增，因此玩家会心心念念惦记着自己的每一抽的状态，以做好自己的抽卡规划。在原神中90抽保底出五星，但当玩家抽出五星后，玩家的抽卡状态将会重置（也是保底重置）。而前阵子宣传的热热闹闹的“原神竞品”幻塔采用了跟原神类似的抽卡机制，通过抽卡来获得角色武器等。为了照顾我等非酋，幻塔跟原神一样也有着保底机制。但幻塔在抽卡机制上，有着令众多原神玩家羡慕的一个特性：保底不重置。
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原神里面角色池子90发保底，统计结果显示大多数人平均起来都是65发左右出五星，一旦出了五星，保底重置。也就是说出了五星后，下次还是得从头开始攒原石抽卡，平均意义上还得多准备60多发。
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幻塔里面武器UP池子80抽必出SSR。但是~玩家假设60抽出金了，玩家的保底还在，不会重置哦。所以60抽中了，再丢20抽也必定再出一金。（原神玩家们，羡慕吗？）
直观上，保底不重置对玩家友好多了。当玩家中途出金了，玩家还可以继续花少数抽卡机会就能迎来下一次出金。保底不重置仿佛是资本家的良心。但精明的资本家和策划们真的会愿意给玩家白白发福利，而不是竭尽所能赚更多的钱吗？这两种机制到底哪个更好呢？为此，我们在文章里面专门研究了玩家抽卡中奖时状态重置和继承机制（reset-after-winning mechanism and succeed-after-winning mechanism），并有如下有意思的发现
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保底不重置看似良心，实则更能诱导玩家氪金。 当状态重置时，玩家每次抽卡中奖的期望开销时恒定的；而当状态继承时，尤其在有保底机制的抽卡游戏中，玩家抽卡中奖的期望开销实际上是随着中奖次数下降的，类似上述幻塔的例子。这种下降的期望开销像优惠一样吸引着玩家抽下去，从而有能力进一步诱导玩家氪金。
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当玩家在卡池中抽的次数足够多时，状态重置机制能够达到卖家收益的渐进最优。以原神为例，在up池中如果要抽出满命5星，最非的情况下可能要抽出14个金（各种歪）。我们在文章中证明了当一个卡池能吸引玩家抽的次数足够多时，简单的状态重置就能让商家收益接近最大。
UP卡池/限定卡池机制
我们来分析一下许多抽卡游戏有的up卡池/限定卡池机制，也即每隔一段时间更新抽卡游戏的奖励（对应文章中分析的banner-based gacha game）。还是以原神为例，原神的up卡池中的奖励每隔一段时间就会更新。如下就是原神3.3版本的up卡池情况，3.3版本上半时间up卡池的角色是流浪者和一斗，下半时间的up卡池是雷电将军和凌人。这种up卡池机制使得游戏厂商可以在抽卡游戏中加入新的卡池奖励，也方便游戏厂商规划他们的收入流水。
在原神的up卡池机制中，存在着这样一条良心机制：玩家的抽卡状态将在不同的up池中继承，up池的更新并不会重置玩家的抽卡状态。具体而言，假如玩家在当前卡池抽了40次，但是没有抽中五星，处于MDP中状态 ，当下一个卡池更新时，玩家仍旧在状态 。以原神90抽保底为例子，玩家最多需要再抽多50抽就必然能抽中。这种看似良心的机制，再次诱发我深入思考，难道这次真的是资本家的良心吗？带着疑问，我们在文章中对比分析了up池状态继承和状态重置机制（succeed-after-opt-out mechanism and reset-after-opt-out mechanism），并得出以下结论
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采用up池状态继承或状态重置机制对卖家（游戏厂商）来说收益是一样的
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当玩家有预算约束时，up池状态继承机制对玩家更友好，同时也能增加卖家（游戏厂商）的收益
基于以上两点结论，我们可以发现up池状态继承对玩家友好的同时也不会损害游戏厂商的收益，而当玩家有预算约束时，继承机制反而能让游戏厂商赚更多的钱，这也就解释了为何游戏厂商原因采用如此良心的机制了。
最后，我们还讨论了游戏中的补贴机制，也即游戏厂商给白嫖党发免费抽奖券的行为。这对应着游戏中玩家可以通过完成活动/任务等获取抽奖机会的现象。我们发现补贴可以提高游戏厂商的收益，但是在up池的情况下，可能会导致玩家囤免费的抽奖券，从而降低游戏厂商的收益，对应的是在原神中，也就是我等白嫖党攒原石抽心爱角色的行为。我们在文中为白嫖党薅羊毛的行为也进行了建模分析，这也可以为广大旅行者的原石和卡池规划做参考。
抽卡机制与区块链系统
此外，文中我们还建立起抽卡机制与区块链的联系。个人观点：区块链本身不就像一个开放世界的抽卡游戏吗？任何人都可以参与区块链系统，在系统中累积数字货币，通过算力等方式进行抽卡，幸运儿有机会产生区块并获得一份奖励。具体来说，我们有如下对应
通过将区块链系统建模成抽卡游戏，我们利用抽卡游戏中的结论来进一步分析区块链系统。如果你感兴趣对这部分内容，详情可以参见文章第7章。
如果你对上述结论感兴趣，欢迎阅读我们的论文！如果想有相关合作或相关学术问题，也欢迎私信我。
最后整个活，附上某天晚上我科研到疯掉后在实验室的白板上作画的成果~哈哈哈哈哈~如果有原神玩家全部猜出我画的是啥，可以来我的世界里面随意采材料哦。
下面是我和“机智的额头怪”一起制作的一个整活且科普向的原神抽卡机制解析视频
参考文献：
Canhui Chen and Zhixuan Fang, “Gacha Game Analysis and Design,” Proceedings of ACM SIGMETRICS (SIGMETRICS), June 2023.
论文原文可以戳我的主页（https://magickd.github.io/）