摘要：本文主要研究朱世杰的生平，数学启蒙和对数学的卓出贡献。本文的文献材料来源于safari浏览器（会稍作修改）。
关键词：朱世杰；生平；数学启蒙；贡献
前言：在“宋元四大家”中，朱世杰出生得最晚，因而他非常幸运地获得了南北两地数学研究的精华，由于朱世杰一生从未进入仕途，因此我们对他的家世，成长经历等无从得知，现在我们所拥有的资料大多数都是从他的友人给他的两部著作
《算学启蒙》和《四元玉鉴》所作的序言里得到的。朱世杰的数学启蒙【1】，对数学的卓越贡献【2】，著作【3】。
主题：【1】元统一中国后，朱世杰曾以数学家的身份周游各地20余年，向他求学的人很多，他到广陵（今扬州）时“踵门而学者云集”。他全面继承了前人数学成果，既吸收了北方的天元术，又吸收了南方的正负开方术、各种日用算法及通俗歌诀，在此基础上进行了创造性的研究，写成以总结和普及当时各种数学知识为宗旨的《算学启蒙》（3卷），又写成四元术的代表作——《四元玉鉴》（3卷），先后于1299年和1303年刊印。《算学启蒙》由浅入深，从一位数乘法开始，一直讲到当时的最新数学成果――天元术，俨然形成一个完整体系。
【2】从天元术推广到二元、三元和四元的高次联立方程组，是宋元数学家的又一项杰出的创造。在天元术的基础上，朱世杰建立了“四元高次方程理论”，他把常数项放在中央（即“太”），然后“立天元一于下，地元一于左，人元一于右，物元一于上”，“天、地、人、物”这四“元”代表未知数（即相当于如今的x、y、z、w），四元的各次幂放在上、下、左、右四个方向上，其它各项放在四个象限中。如果用现代的x、y、z、w表示天、地、人、物，那我们可以把朱世杰列高次多元方程的方法表示：而上面的两个图形“四元一次筹式”与“四元二次筹式”所表示的方程分别为：x+y+z+w=0
用上述方法列出四元高次方程后，再联立方程组进行解方程组，方法是用消元方法解答，先择一元为未知数，其它元组成的多项式作为这未知数的系数，然后把四元四式消去一元，变成三元三式，再消去一元变二元二式，再消去一元，就得到只含一元的天元开方式，然后用增乘开方法求得正根。
【3】主要著作是《算学启蒙》与《四元玉鉴》。算学启蒙上中下三卷，元大德己亥(1299年）朱世杰撰，共20门，凡259问，所采用的名词术语，多与《四元玉鉴》为表里，由卷首列的筹算布列规则，直到天元术，由浅入深，循序渐进，名为启蒙，实为《四元玉鉴》的导引。《算学启蒙》卷首有淮杨数学家赵元镇的序。赵元镇也曾出资替朱世杰刻印《四元玉鉴》本书包括了从乘除法运算及其捷算法到开方、天元术、方程术等当时数学各方面的内容，由浅入深，形成了一个较完整的体系。正文前，列出了九九歌诀、归除歌诀、斤两化零歌、筹算识位制度、大小数进位法、度量衡制度、圆周诸率、正负数加减乘法法则、开方法则等18条作为总括，作为全书的预备知识，其中正负数乘法法则不仅在中国数学著作中，在世界上也是首次出现。许多歌诀比杨辉的更加完整准确，有的已与现代珠算口诀几乎完全一致。这是中国数学著作中第一次出现的与现今一致的口诀。它是一部成就辉煌的数学名著，受到近代数学史研究者的高度评价，认为是中国数学著作中最重要的一部，同时也是中世纪最杰出的数学著作之一。但其美中不足的是，在四元玉鉴中，对於一些重要的问题如求解高次联立方程组的消去法等解说过於简略，并且对於书中每一个问题的解法也没有列出详细的演算过程，故比较深奥，人们很难读懂。以致於自朱世杰之後，中国这种在数学上高度发展的局面不但没有保持发展下去，反而很多成就在明、清的一段时期内几乎失传。
此外朱世杰将高阶等差级数求和和高次内插法进行了发展。《四元玉鉴》是元代杰出数学家朱世杰的代表作，其中的成果被视为中国筹算系统发展的顶峰。
总结：朱世杰是我国原代著名数学家。本文介绍了他的数学启蒙，贡献和著作，可见朱世杰的贡献甚大。
参考文献：
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【3】 吴文俊主编．《中国数学史大系》第六卷第四编第一章朱世杰与《算学启蒙》．北京：北京师范大学出版社，2000：213
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【10】吴文俊．数学机械化《朱世杰的一个例子》．北京：科学出版社，2006：18-19页
【11】朱世杰原著李兆华校正．《四元玉鉴》．北京：科学出版社，2007：63-64页
【12】朱世杰原著李兆华校正．《四元玉鉴》ISBN 978-7-03-020112-6．北京：科学出版社，2007：153页
【13】朱世杰原著李兆华校正．《四元玉鉴》ISBN 978-7-03-020112-6．北京：科学出版社，2007：65页，153页
【14】朱世杰撰罗士琳草．万有文库第二集（中）卷下之五．上海：商务印书馆，1932：四一0-四一一-
【15】孔国平．《测圆还镜导读》．汉口：湖北教育出版社，1996：439-444